Der Logarithmus zur Basis b einer Zahl ist der Exponent , den wir zur Erhöhung der Basis benötigen, um die Zahl zu erhalten.
Wenn b mit y potenziert wird ist gleich x:
b y = x
Dann ist der Logarithmus zur Basis b von x gleich y:
logb(x) = y
Zum Beispiel wenn:
24 = 16
Dann
log2(16) = 4
Die logarithmische Funktion,
y = logb(x)
ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion,
x = by
Wenn wir also die Exponentialfunktion des Logarithmus von x berechnen (x>0),
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
Oder wenn wir den Logarithmus der Exponentialfunktion von x berechnen,
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis e:
ln(x) = loge(x)
Wenn e konstant die Zahl ist:
oder
Siehe: Natürlicher Logarithmus
Der inverse Logarithmus (oder Antilogarithmus) wird berechnet, indem die Basis b zum Logarithmus y erhoben wird:
x = log-1(y) = b y
Die logarithmische Funktion hat die Grundform:
f (x) = logb(x)
Regelname | Regel |
---|---|
Logarithmische Produktregel |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logarithmische Quotientenregel |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Logarithmische Potenzregel |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logarithmische Basiswechselregel |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Logarithmische Basisänderungsregel |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Ableitung des Logarithmus |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) ) |
Integral des Logarithmus |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C |
Logarithmus einer negativen Zahl |
log b ( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0 |
Logarithmus von 0 |
log b (0) ist undefiniert |
Logarithmus von 1 |
log b (1) = 0 |
Logarithmus der Basis |
log b ( b ) = 1 |
Logarithmus der Unendlichkeit |
lim log b ( x ) = ∞, wenn x →∞ |
Siehe: Logarithmusregeln
Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Zum Beispiel:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz von Logarithmus von x und Logarithmus von y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Zum Beispiel:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Der Logarithmus von x potenziert mit y ist das y-fache des Logarithmus von x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Zum Beispiel:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Der Logarithmus zur Basis b von c ist 1 dividiert durch den Logarithmus zur Basis c von b.
logb(c) = 1 / logc(b)
Zum Beispiel:
log2(8) = 1 / log8(2)
Der Logarithmus zur Basis b von x ist der Logarithmus zur Basis c von x dividiert durch den Logarithmus zur Basis c von b.
logb(x) = logc(x) / logc(b)
Um zum Beispiel log 2 (8) im Taschenrechner zu berechnen, müssen wir die Basis auf 10 ändern:
log2(8) = log10(8) / log10(2)
Siehe: Änderungsregel für Protokollbasis
Der reelle Logarithmus zur Basis b von x, wenn x<=0, ist undefiniert, wenn x negativ oder gleich Null ist:
logb(x) is undefined when x ≤ 0
Siehe: Log der negativen Zahl
Der Logarithmus zur Basis b von Null ist undefiniert:
logb(0) is undefined
Die Grenze des Logarithmus zur Basis b von x ist minus unendlich, wenn x gegen Null geht:
Siehe: Log von Null
Der Logarithmus zur Basis b von Eins ist Null:
logb(1) = 0
Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis zwei von eins null:
log2(1) = 0
Siehe: Protokoll von einem
Die Grenze des Basis-b-Logarithmus von x ist, wenn x gegen unendlich geht, gleich unendlich:
lim logb(x) = ∞, when x→∞
Siehe: Log der Unendlichkeit
Der Logarithmus zur Basis b von b ist eins:
logb(b) = 1
Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis zwei von zwei eins:
log2(2) = 1
Wann
f (x) = logb(x)
Dann die Ableitung von f(x):
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Siehe: Log-Ableitung
Das Integral des Logarithmus von x:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Zum Beispiel:
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
Für komplexe Zahl z:
z = reiθ = x + iy
Der komplexe Logarithmus lautet (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Finden Sie x für
log2(x) + log2(x-3) = 2
Anwendung der Produktregel:
log2(x∙(x-3)) = 2
Änderung der Logarithmusform gemäß der Logarithmusdefinition:
x∙(x-3) = 22
Oder
x2-3x-4 = 0
Lösen der quadratischen Gleichung:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
Da der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert ist, lautet die Antwort:
x = 4
Finden Sie x für
log3(x+2) - log3(x) = 2
Anwendung der Quotientenregel:
log3((x+2) / x) = 2
Änderung der Logarithmusform gemäß der Logarithmusdefinition:
(x+2)/x = 32
Oder
x+2 = 9x
Oder
8x = 2
Oder
x = 0.25
log(x) ist für reelle nicht positive Werte von x nicht definiert:
x | log 10x _ | log 2x _ | log e x |
---|---|---|---|
0 | nicht definiert | nicht definiert | nicht definiert |
0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
0,0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
0,1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
3 | 0,477121 | 1.584963 | 1.098612 |
4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
6 | 0,778151 | 2.584963 | 1,791759 |
7 | 0,845098 | 2.807355 | 1,945910 |
8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
50 | 1,698970 | 5.643856 | 3.912023 |
60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
70 | 1,845098 | 6.129283 | 4.248495 |
80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
90 | 1,954243 | 6.491853 | 4.499810 |
100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
400 | 2.602060 | 8.643856 | 5,991465 |
500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
700 | 2,845098 | 9.451211 | 6,551080 |
800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
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