Logarithmus-Änderung der Basisregel

Logarithmische Änderung der Basisregel

Um die Basis von b nach c zu ändern, können wir die Regel zur logarithmischen Änderung der Basis verwenden. Der Logarithmus zur Basis b von x ist gleich dem Logarithmus zur Basis c von x dividiert durch den Logarithmus zur Basis c von b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Beispiel 1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

Beispiel #2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

Nachweisen

Erhöhen von b mit der Potenz des Basis-b-Logarithmus von x ergibt x:

(1) x = b^logb^(x)

Erhöhen von c mit der Potenz des Basis-c-Logarithmus von b ergibt b:

(2) b = c^logc^(b)

Wenn wir (1) nehmen und b durch c ^log c ^{( b )} (2) ersetzen, erhalten wir:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

Durch Anwendung von log _c () auf beiden Seiten von (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

Durch Anwendung der logarithmischen Potenzregel :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

Da log _c ( c )=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

Oder

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Logarithmus von Null ►

Siehe auch

• Logarithmusrechner
• Rechner für den natürlichen Logarithmus
• Natürlicher Logarithmus
• e konstant
• Dezibel (dB)