Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e einer Zahl.
Wann
e y = x
Dann ist der Basis-e-Logarithmus von x
ln(x) = loge(x) = y
Die e-Konstante oder Eulersche Zahl ist:
e ≈ 2,71828183
Die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e x .
Für x > 0,
f (f -1(x)) = eln(x) = x
Oder
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
Regelname | Regel | Beispiel |
---|---|---|
Produktregel |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
Quotientenregel |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
Machtregel |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
ln Ableitung |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
Ganzzahlig |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
ln negativer Zahl |
ln( x ) ist undefiniert, wenn x ≤ 0 | |
ln von Null |
ln(0) ist undefiniert | |
ln von einem |
In(1) = 0 | |
ln der Unendlichkeit |
lim ln( x ) = ∞ , wenn x →∞ | |
Eulers Identität | ln(-1) = iπ |
Der Logarithmus der Multiplikation von x und y ist die Summe aus Logarithmus von x und Logarithmus von y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Zum Beispiel:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Der Logarithmus der Division von x und y ist die Differenz von Logarithmus von x und Logarithmus von y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Zum Beispiel:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Der Logarithmus von x potenziert mit y ist das y-fache des Logarithmus von x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Zum Beispiel:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Die Ableitung der Funktion des natürlichen Logarithmus ist die Kehrwertfunktion.
Wann
f (x) = ln(x)
Die Ableitung von f(x) ist:
f ' (x) = 1 / x
Das Integral der natürlichen Logarithmusfunktion ist gegeben durch:
Wann
f (x) = ln(x)
Das Integral von f(x) ist:
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
Der natürliche Logarithmus von Null ist undefiniert:
ln(0) is undefined
Die Grenze nahe 0 des natürlichen Logarithmus von x ist minus unendlich, wenn x gegen Null geht:
Der natürliche Logarithmus von Eins ist Null:
ln(1) = 0
Die Grenze des natürlichen Logarithmus von Unendlich, wenn x sich Unendlich nähert, ist gleich Unendlich:
lim ln(x) = ∞, when x→∞
Für komplexe Zahl z:
z = reiθ = x + iy
Der komplexe Logarithmus lautet (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) ist für reelle nicht positive Werte von x nicht definiert:
x | In x |
---|---|
0 | nicht definiert |
0 + | - ∞ |
0,0001 | -9.210340 |
0,001 | -6,907755 |
0,01 | -4,605170 |
0,1 | -2.302585 |
1 | 0 |
2 | 0,693147 |
e ≈ 2,7183 | 1 |
3 | 1.098612 |
4 | 1.386294 |
5 | 1.609438 |
6 | 1,791759 |
7 | 1,945910 |
8 | 2.079442 |
9 | 2.197225 |
10 | 2.302585 |
20 | 2.995732 |
30 | 3.401197 |
40 | 3.688879 |
50 | 3.912023 |
60 | 4.094345 |
70 | 4.248495 |
80 | 4.382027 |
90 | 4.499810 |
100 | 4.605170 |
200 | 5.298317 |
300 | 5.703782 |
400 | 5,991465 |
500 | 6.214608 |
600 | 6.396930 |
700 | 6,551080 |
800 | 6.684612 |
900 | 6.802395 |
1000 | 6.907755 |
10000 | 9.210340 |
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