Quadratische Gleichung
Die quadratische Gleichung ist ein Polynom zweiter Ordnung mit 3 Koeffizienten - a , b , c .
Die quadratische Gleichung ist gegeben durch:
ax2 + bx + c = 0
Die Lösung der quadratischen Gleichung wird durch 2 Zahlen x 1 und x 2 gegeben .
Wir können die quadratische Gleichung ändern in die Form von:
(x - x1)(x - x2) = 0
Quadratische Formel
Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich aus der quadratischen Formel:
Der Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel heißt Diskriminante und wird mit Δ bezeichnet:
Δ = b2 - 4ac
Die quadratische Formel mit Diskriminanzschreibweise:
Dieser Ausdruck ist wichtig, weil er uns etwas über die Lösung sagen kann:
- Wenn Δ>0, gibt es 2 reelle Wurzeln x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) und x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Wenn Δ=0, gibt es eine Wurzel x 1 = x 2 = –b/(2a) .
- Wenn Δ<0, gibt es keine reellen Wurzeln, sondern 2 komplexe Wurzeln:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) und x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problem Nr. 1
3x2+5x+2 = 0
Lösung:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problem Nr. 2
3x2-6x+3 = 0
Lösung:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problem Nr. 3
x2+2x+5 = 0
Lösung:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16 )) / 2
Es gibt keine wirklichen Lösungen. Die Werte sind komplexe Zahlen:
x 1 = -1 + 2 ich
x 2 = -1 - 2 ich
Quadratischer Funktionsgraph
Die quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion zweiter Ordnung:
f(x) = ax2 + bx + c
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die Wurzeln der quadratischen Funktion, das sind die Schnittpunkte des quadratischen Funktionsgraphen mit der x-Achse, wenn
f(x) = 0
Wenn es 2 Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse gibt, gibt es 2 Lösungen für die quadratische Gleichung.
Wenn es 1 Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse gibt, gibt es 1 Lösung für die quadratische Gleichung.
Wenn es keine Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse gibt, erhalten wir keine reellen Lösungen (oder 2 komplexe Lösungen).
Siehe auch
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