Illogaritmo inbase bdi un numero è l'esponente di cui abbiamo bisogno per elevare labase per ottenere il numero.
Quando b è elevato alla potenza di y è uguale a x:
b y = x
Allora il logaritmo in base b di x è uguale a y:
logb(x) = y
Ad esempio quando:
24 = 16
Poi
log2(16) = 4
La funzione logaritmica,
y = logb(x)
è la funzione inversa della funzione esponenziale,
x = by
Quindi se calcoliamo la funzione esponenziale del logaritmo di x (x>0),
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
O se calcoliamo il logaritmo della funzione esponenziale di x,
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Il logaritmo naturale è un logaritmo in base e:
ln(x) = loge(x)
Quando e costante è il numero:
O
Vedi: logaritmo naturale
Il logaritmo inverso (o antilogaritmo) si calcola elevando la base b al logaritmo y:
x = log-1(y) = b y
La funzione logaritmica ha la forma base di:
f (x) = logb(x)
Nome regola | Regola |
---|---|
Regola del prodotto logaritmico |
ceppo b ( x ∙ y ) = ceppo b ( x ) + ceppo b ( y ) |
Regola del quoziente logaritmico |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Regola di potenza del logaritmo |
ceppo b ( x y ) = y ∙ ceppo b ( x ) |
Regola del cambio di base del logaritmo |
ceppo b ( c ) = 1 / ceppo c ( b ) |
Regola di modifica della base logaritmica |
ceppo b ( x ) = ceppo c ( x ) / ceppo c ( b ) |
Derivata del logaritmo |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln( b ) ) |
Integrale del logaritmo |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + C |
Logaritmo del numero negativo |
log b ( x ) non è definito quando x ≤ 0 |
Logaritmo di 0 |
log b (0) non è definito |
Logaritmo di 1 |
logaritmo b (1) = 0 |
Logaritmo della base |
logaritmo b ( b ) = 1 |
Logaritmo dell'infinito |
lim log b ( x ) = ∞, quando x →∞ |
Vedi: regole del logaritmo
Il logaritmo della moltiplicazione di x e y è la somma del logaritmo di x e del logaritmo di y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Per esempio:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Il logaritmo della divisione di x e y è la differenza tra il logaritmo di x e il logaritmo di y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Per esempio:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Il logaritmo di x elevato alla potenza di y è y volte il logaritmo di x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Per esempio:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Il logaritmo in base b di c è 1 diviso per il logaritmo in base c di b.
logb(c) = 1 / logc(b)
Per esempio:
log2(8) = 1 / log8(2)
Il logaritmo in base b di x è il logaritmo in base c di x diviso per il logaritmo in base c di b.
logb(x) = logc(x) / logc(b)
Ad esempio, per calcolare il log 2 (8) nella calcolatrice, dobbiamo cambiare la base in 10:
log2(8) = log10(8) / log10(2)
Vedere: regola di modifica della base dei log
Il logaritmo reale in base b di x quando x<=0 non è definito quando x è negativo o uguale a zero:
logb(x) is undefined when x ≤ 0
Vedi: registro dei numeri negativi
Il logaritmo in base b di zero non è definito:
logb(0) is undefined
Il limite del logaritmo in base b di x, quando x si avvicina a zero, è meno infinito:
Vedi: logaritmo di zero
Il logaritmo in base b di uno è zero:
logb(1) = 0
Ad esempio, il logaritmo in base due di uno è zero:
log2(1) = 0
Vedi: registro di uno
Il limite del logaritmo in base b di x, quando x tende all'infinito, è uguale all'infinito:
lim logb(x) = ∞, when x→∞
Vedi: log dell'infinito
Il logaritmo in base b di b è uno:
logb(b) = 1
Ad esempio, il logaritmo in base due di due è uno:
log2(2) = 1
Quando
f (x) = logb(x)
Allora la derivata di f(x):
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Vedi: derivata logaritmica
L'integrale del logaritmo di x:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Per esempio:
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
Per il numero complesso z:
z = reiθ = x + iy
Il logaritmo complesso sarà (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Trova x per
log2(x) + log2(x-3) = 2
Usando la regola del prodotto:
log2(x∙(x-3)) = 2
Modifica della forma del logaritmo secondo la definizione del logaritmo:
x∙(x-3) = 22
O
x2-3x-4 = 0
Risolvere l'equazione quadratica:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
Poiché il logaritmo non è definito per i numeri negativi, la risposta è:
x = 4
Trova x per
log3(x+2) - log3(x) = 2
Usando la regola del quoziente:
log3((x+2) / x) = 2
Modifica della forma del logaritmo secondo la definizione del logaritmo:
(x+2)/x = 32
O
x+2 = 9x
O
8x = 2
O
x = 0.25
log(x) non è definito per valori reali non positivi di x:
X | registro 10 x | registro 2 x | log e x |
---|---|---|---|
0 | non definito | non definito | non definito |
0+ _ | -∞ | -∞ | -∞ |
0.0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
0,001 | -3 | -9.965784 | -6.907755 |
0.01 | -2 | -6.643856 | -4.605170 |
0.1 | -1 | -3.321928 | -2.302585 |
1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0.301030 | 1 | 0,693147 |
3 | 0.477121 | 1.584963 | 1.098612 |
4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
6 | 0,778151 | 2.584963 | 1.791759 |
7 | 0.845098 | 2.807355 | 1.945910 |
8 | 0.903090 | 3 | 2.079442 |
9 | 0.954243 | 3.169925 | 2.197225 |
10 | 1 | 3.321928 | 2.302585 |
20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
40 | 1.602060 | 5.321928 | 3.688879 |
50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
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