Il logaritmo naturale è il logaritmo in base e di un numero.
Quando
e y = x
Quindi base e logaritmo di x è
ln(x) = loge(x) = y
La costante e o il numero di Eulero è:
e ≈ 2,71828183
La funzione del logaritmo naturale ln(x) è la funzione inversa della funzione esponenziale e x .
Per x>0,
f (f -1(x)) = eln(x) = x
O
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
Nome regola | Regola | Esempio |
---|---|---|
Regola del prodotto |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
Regola del quoziente |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
Regola di potere |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
In derivato |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
ln integrale |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
ln di numero negativo |
ln( x ) non è definito quando x ≤ 0 | |
ln di zero |
ln(0) non è definito | |
ln di uno |
ln(1) = 0 | |
ln dell'infinito |
lim ln( x ) = ∞ , quando x →∞ | |
Identità di Eulero | ln(-1) = iπ |
Il logaritmo della moltiplicazione di x e y è la somma del logaritmo di x e del logaritmo di y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Per esempio:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Il logaritmo della divisione di x e y è la differenza tra il logaritmo di x e il logaritmo di y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Per esempio:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Il logaritmo di x elevato alla potenza di y è y volte il logaritmo di x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Per esempio:
log10(28) = 8∙ log10(2)
La derivata della funzione logaritmo naturale è la funzione reciproca.
Quando
f (x) = ln(x)
La derivata di f(x) è:
f ' (x) = 1 / x
L'integrale della funzione logaritmo naturale è dato da:
Quando
f (x) = ln(x)
L'integrale di f(x) è:
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
Il logaritmo naturale di zero è indefinito:
ln(0) is undefined
Il limite vicino allo 0 del logaritmo naturale di x, quando x si avvicina allo zero, è meno infinito:
Il logaritmo naturale di uno è zero:
ln(1) = 0
Il limite del logaritmo naturale dell'infinito, quando x tende all'infinito è uguale all'infinito:
lim ln(x) = ∞, when x→∞
Per il numero complesso z:
z = reiθ = x + iy
Il logaritmo complesso sarà (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
ln(x) non è definito per valori reali non positivi di x:
X | ln x |
---|---|
0 | non definito |
0+ _ | -∞ |
0.0001 | -9.210340 |
0,001 | -6.907755 |
0.01 | -4.605170 |
0.1 | -2.302585 |
1 | 0 |
2 | 0,693147 |
e ≈ 2,7183 | 1 |
3 | 1.098612 |
4 | 1.386294 |
5 | 1.609438 |
6 | 1.791759 |
7 | 1.945910 |
8 | 2.079442 |
9 | 2.197225 |
10 | 2.302585 |
20 | 2.995732 |
30 | 3.401197 |
40 | 3.688879 |
50 | 3.912023 |
60 | 4.094345 |
70 | 4.248495 |
80 | 4.382027 |
90 | 4.499810 |
100 | 4.605170 |
200 | 5.298317 |
300 | 5.703782 |
400 | 5.991465 |
500 | 6.214608 |
600 | 6.396930 |
700 | 6.551080 |
800 | 6.684612 |
900 | 6.802395 |
1000 | 6.907755 |
10000 | 9.210340 |
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