Logarytm o podstawie b liczby to wykładnik , o który musimy podnieść podstawę , aby otrzymać tę liczbę.
Kiedy b jest podniesione do potęgi y równa się x:
b y = x
Wtedy logarytm o podstawie b z x jest równy y:
logb(x) = y
Na przykład, gdy:
24 = 16
Następnie
log2(16) = 4
Funkcja logarytmiczna,
y = logb(x)
jest funkcją odwrotną funkcji wykładniczej,
x = by
Więc jeśli obliczymy funkcję wykładniczą logarytmu x (x>0),
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
Lub jeśli obliczymy logarytm funkcji wykładniczej x,
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Logarytm naturalny to logarytm o podstawie e:
ln(x) = loge(x)
Gdy stała e jest liczbą:
Lub
Zobacz: Logarytm naturalny
Odwrotny logarytm (lub antylogarytm) oblicza się, podnosząc podstawę b do logarytmu y:
x = log-1(y) = b y
Funkcja logarytmiczna ma podstawową postać:
f (x) = logb(x)
Nazwa reguły | Reguła |
---|---|
Reguła iloczynu logarytmu |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Reguła ilorazu logarytmów |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Reguła potęgowa logarytmu |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Reguła zmiany podstawy logarytmu |
log b ( do) = 1 / log do ( b ) |
Reguła zmiany podstawy logarytmu |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Pochodna logarytmu |
fa ( x ) = log b ( x ) ⇒ fa ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) ) |
Całka z logarytmu |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln( b ) ) + do |
Logarytm liczby ujemnej |
log b ( x ) jest nieokreślony, gdy x ≤ 0 |
Logarytm 0 |
log b (0) jest nieokreślony |
Logarytm z 1 |
log b (1) = 0 |
Logarytm podstawy |
log b ( b ) = 1 |
Logarytm nieskończoności |
lim log b ( x ) = ∞, gdy x →∞ |
Zobacz: Reguły logarytmu
Logarytm mnożenia x i y jest sumą logarytmu x i logarytmu y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Na przykład:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Logarytm dzielenia x i y jest różnicą logarytmu x i logarytmu y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Na przykład:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Logarytm x podniesiony do potęgi y to y razy logarytm x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Na przykład:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Logarytm o podstawie b z c to 1 podzielone przez logarytm o podstawie c z b.
logb(c) = 1 / logc(b)
Na przykład:
log2(8) = 1 / log8(2)
Logarytm o podstawie b z x to logarytm o podstawie c z x podzielony przez logarytm o podstawie c z b.
logb(x) = logc(x) / logc(b)
Na przykład, aby obliczyć log 2 (8) w kalkulatorze, musimy zmienić podstawę na 10:
log2(8) = log10(8) / log10(2)
Zobacz: reguła zmiany bazy dziennika
Logarytm rzeczywisty o podstawie b z x, gdy x<=0 jest niezdefiniowany, gdy x jest ujemne lub równe zeru:
logb(x) is undefined when x ≤ 0
Zobacz: log liczby ujemnej
Logarytm o podstawie b z zera jest niezdefiniowany:
logb(0) is undefined
Granica logarytmu o podstawie b z x, gdy x dąży do zera, wynosi minus nieskończoność:
Zobacz: dziennik zerowy
Logarytm o podstawie b z jedynki wynosi zero:
logb(1) = 0
Na przykład logarytm o podstawie 2 z jedynki wynosi zero:
log2(1) = 0
Zobacz: dziennik jednego
Granica logarytmu o podstawie b z x, gdy x dąży do nieskończoności, jest równa nieskończoności:
lim logb(x) = ∞, when x→∞
Zobacz: dziennik nieskończoności
Logarytm o podstawie b z b wynosi jeden:
logb(b) = 1
Na przykład logarytm o podstawie dwójki z dwójki to jeden:
log2(2) = 1
Gdy
f (x) = logb(x)
Wtedy pochodna f(x):
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Zobacz: pochodna logarytmiczna
Całka z logarytmu x:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Na przykład:
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
Dla liczby zespolonej z:
z = reiθ = x + iy
Zespolony logarytm będzie miał postać (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Znajdź x dla
log2(x) + log2(x-3) = 2
Korzystając z reguły produktu:
log2(x∙(x-3)) = 2
Zmiana postaci logarytmu zgodnie z definicją logarytmu:
x∙(x-3) = 22
Lub
x2-3x-4 = 0
Rozwiązanie równania kwadratowego:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
Ponieważ logarytm nie jest zdefiniowany dla liczb ujemnych, odpowiedź brzmi:
x = 4
Znajdź x dla
log3(x+2) - log3(x) = 2
Korzystając z reguły ilorazu:
log3((x+2) / x) = 2
Zmiana postaci logarytmu zgodnie z definicją logarytmu:
(x+2)/x = 32
Lub
x+2 = 9x
Lub
8x = 2
Lub
x = 0.25
log(x) nie jest zdefiniowany dla rzeczywistych nie dodatnich wartości x:
X | zaloguj 10x _ | dziennik 2x _ | dziennik np. x |
---|---|---|---|
0 | nieokreślony | nieokreślony | nieokreślony |
0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
0,0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
0,1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
3 | 0,477121 | 1.584963 | 1.098612 |
4 | 0,602060 | 2 | 1.386294 |
5 | 0,698970 | 2.321928 | 1.609438 |
6 | 0,778151 | 2,584963 | 1.791759 |
7 | 0,845098 | 2.807355 | 1.945910 |
8 | 0,903090 | 3 | 2.079442 |
9 | 0,954243 | 3.169925 | 2.197225 |
10 | 1 | 3,321928 | 2.302585 |
20 | 1.301030 | 4.321928 | 2.995732 |
30 | 1.477121 | 4.906891 | 3.401197 |
40 | 1.602060 | 5.321928 | 3,688879 |
50 | 1.698970 | 5.643856 | 3.912023 |
60 | 1.778151 | 5.906991 | 4.094345 |
70 | 1.845098 | 6.129283 | 4.248495 |
80 | 1.903090 | 6.321928 | 4.382027 |
90 | 1.954243 | 6.491853 | 4.499810 |
100 | 2 | 6.643856 | 4.605170 |
200 | 2.301030 | 7.643856 | 5.298317 |
300 | 2.477121 | 8.228819 | 5.703782 |
400 | 2.602060 | 8.643856 | 5.991465 |
500 | 2.698970 | 8.965784 | 6.214608 |
600 | 2.778151 | 9.228819 | 6.396930 |
700 | 2.845098 | 9.451211 | 6.551080 |
800 | 2.903090 | 9.643856 | 6.684612 |
900 | 2.954243 | 9.813781 | 6.802395 |
1000 | 3 | 9.965784 | 6.907755 |
10000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Advertising