Logarytm naturalny - ln(x)

Logarytm naturalny to logarytm do podstawy e liczby.

• Definicja logarytmu naturalnego (ln).
• Zasady i właściwości logarytmu naturalnego (ln).
  • Pochodna logarytmu naturalnego (ln)
  • Całka z logarytmu naturalnego (ln)
• Złożony logarytm
• Wykres ln(x)
• Tabela logarytmów naturalnych (ln).
• Kalkulator logarytmu naturalnego

Definicja logarytmu naturalnego

Gdy

e ^y = x

Wtedy podstawa e logarytm z x wynosi

ln(x) = log_e(x) = y

 

Stała e lub liczba Eulera to:

e ≈ 2,71828183

Ln jako funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmu naturalnego ln(x) jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej e ^x .

dla x>0,

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Lub

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Reguły i własności logarytmu naturalnego

Nazwa reguły	Reguła	Przykład
Reguła produktu	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Reguła ilorazowa	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Zasada władzy	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
ln pochodna	fa ( x ) = ln( x ) ⇒ fa ' ( x ) = 1 / x
w całce	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + do
ln liczby ujemnej	ln( x ) jest nieokreślone, gdy x ≤ 0
ln od zera	ln(0) jest niezdefiniowane
ln jednego	ln(1) = 0
ln nieskończoności	lim ln( x ) = ∞ , gdy x →∞
tożsamość Eulera	ln(-1) = iπ

 

Reguła iloczynu logarytmu

Logarytm mnożenia x i y jest sumą logarytmu x i logarytmu y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Na przykład:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Reguła ilorazu logarytmów

Logarytm dzielenia x i y jest różnicą logarytmu x i logarytmu y.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Na przykład:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Reguła potęgowa logarytmu

Logarytm x podniesiony do potęgi y to y razy logarytm x.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Na przykład:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Pochodna logarytmu naturalnego

Pochodną funkcji logarytmu naturalnego jest funkcja odwrotna.

Gdy

f (x) = ln(x)

Pochodna f(x) to:

f ' (x) = 1 / x

Całka z logarytmu naturalnego

Całka funkcji logarytmu naturalnego jest dana wzorem:

Gdy

f (x) = ln(x)

Całka f(x) to:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln od 0

Logarytm naturalny zera jest nieokreślony:

ln(0) is undefined

Granica blisko 0 logarytmu naturalnego x, gdy x zbliża się do zera, wynosi minus nieskończoność:

Ln z 1

Logarytm naturalny z jedynki wynosi zero:

ln(1) = 0

Ln nieskończoności

Granica logarytmu naturalnego nieskończoności, gdy x dąży do nieskończoności, jest równa nieskończoności:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Złożony logarytm

Dla liczby zespolonej z:

z = re^iθ = x + iy

Zespolony logarytm będzie miał postać (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

Wykres ln(x)

ln(x) nie jest zdefiniowane dla rzeczywistych nie dodatnich wartości x:

Tabela logarytmów naturalnych

X	ln x
0	nieokreślony
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0,1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1.098612
4	1.386294
5	1.609438
6	1.791759
7	1.945910
8	2.079442
9	2.197225
10	2.302585
20	2.995732
30	3.401197
40	3,688879
50	3.912023
60	4.094345
70	4.248495
80	4.382027
90	4.499810
100	4.605170
200	5.298317
300	5.703782
400	5.991465
500	6.214608
600	6.396930
700	6.551080
800	6.684612
900	6.802395
1000	6.907755
10000	9.210340

 

Zasady logarytmu ►

 

---

Zobacz też

• Logarytm (log)
• Kalkulator logarytmu naturalnego
• Logarytm naturalny zera
• Logarytm naturalny jeden
• Logarytm naturalny e
• Logarytm naturalny nieskończoności
• Logarytm naturalny liczby ujemnej
• Funkcja odwrotna Ln
• wykres ln(x).
• Tabela logarytmów naturalnych
• Kalkulator logarytmów
• e stała