Arvu baaslogaritm b on eksponent , mida peame arvu saamiseks baasi tõstma .
Kui b tõstetakse y astmeni, on võrdne x:
b y = x
Siis x-i baaslogaritm on võrdne y-ga:
logb(x) = y
Näiteks kui:
24 = 16
Siis
log2(16) = 4
logaritmiline funktsioon,
y = logb(x)
on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon,
x = by
Nii et kui arvutame x (x>0) logaritmi eksponentsiaalfunktsiooni,
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
Või kui arvutame x eksponentsiaalfunktsiooni logaritmi,
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Naturaallogaritm on aluse e logaritm:
ln(x) = loge(x)
Kui e konstant on arv:
või
Vaata: Naturaallogaritm
Pöördlogaritm (või antilogaritm) arvutatakse aluse b tõstmisega logaritmile y:
x = log-1(y) = b y
Logaritmilise funktsiooni põhivorm on järgmine:
f (x) = logb(x)
Reegli nimi | Reegel |
---|---|
Logaritmi korrutisreegel |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logaritmi jagatise reegel |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Logaritmi võimsusreegel |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritmi baaslüliti reegel |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Logaritmi baasi muutmise reegel |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Logaritmi tuletis |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) ) |
Logaritmi integraal |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Negatiivse arvu logaritm |
log b ( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0 |
Logaritm 0 |
log b (0) on määramata |
Logaritm 1 |
log b (1) = 0 |
Aluse logaritm |
log b ( b ) = 1 |
Lõpmatuse logaritm |
lim log b ( x ) = ∞, kui x →∞ |
Vaata: Logaritmireeglid
X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Näiteks:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
X ja y jagamise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Näiteks:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
y astmeni tõstetud x-i logaritm on y korda x-i logaritm.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Näiteks:
log10(28) = 8∙ log10(2)
C baaslogaritm on 1 jagatud b baaslogaritmiga c.
logb(c) = 1 / logc(b)
Näiteks:
log2(8) = 1 / log8(2)
x baaslogaritm on x baaslogaritm jagatud b baaslogaritmiga c.
logb(x) = logc(x) / logc(b)
Näiteks logi 2 (8) arvutamiseks kalkulaatoris peame muutma baasi väärtuseks 10:
log2(8) = log10(8) / log10(2)
Vaata: logibaasi muutmise reegel
x-i baas b reaallogaritm, kui x<=0, on määratlemata, kui x on negatiivne või võrdne nulliga:
logb(x) is undefined when x ≤ 0
Vaata: negatiivse arvu logi
Nulli baaslogaritm on määratlemata:
logb(0) is undefined
X-i baaslogaritmi b piirväärtus, kui x läheneb nullile, on miinus lõpmatus:
Vaata: nulli logi
Ühe baaslogaritm on null:
logb(1) = 0
Näiteks ühe kahe põhilogaritm on null:
log2(1) = 0
Vaata: logi ühest
X-i baaslogaritmi b piirang, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:
lim logb(x) = ∞, when x→∞
Vaata: lõpmatuse logi
B baaslogaritm on üks:
logb(b) = 1
Näiteks kahe põhilogaritm kahest on üks:
log2(2) = 1
Millal
f (x) = logb(x)
Siis f(x) tuletis:
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Vaata: logtuletis
X-i logaritmi integraal:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Näiteks:
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
Kompleksarvu z puhul:
z = reiθ = x + iy
Komplekslogaritm on (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Otsi x jaoks
log2(x) + log2(x-3) = 2
Tootereegli kasutamine:
log2(x∙(x-3)) = 2
Logaritmi vormi muutmine vastavalt logaritmi määratlusele:
x∙(x-3) = 22
Või
x2-3x-4 = 0
Ruutvõrrandi lahendamine:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
Kuna negatiivsete arvude jaoks pole logaritmi määratletud, on vastus järgmine:
x = 4
Otsi x jaoks
log3(x+2) - log3(x) = 2
Jagatisreeglit kasutades:
log3((x+2) / x) = 2
Logaritmi vormi muutmine vastavalt logaritmi määratlusele:
(x+2)/x = 32
Või
x+2 = 9x
Või
8x = 2
Või
x = 0.25
log(x) ei ole defineeritud x tegelike mittepositiivsete väärtuste jaoks:
x | logi 10 x | logi 2 x | logi e x |
---|---|---|---|
0 | määratlemata | määratlemata | määratlemata |
0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
0,0001 | -4 | -13.287712 | -9.210340 |
0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
0.1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
3 | 0,477121 | 1,584963 | 1,098612 |
4 | 0,602060 | 2 | 1,386294 |
5 | 0,698970 | 2,321928 | 1,609438 |
6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
7 | 0,845098 | 2,807355 | 1,945910 |
8 | 0,903090 | 3 | 2,079442 |
9 | 0,954243 | 3,169925 | 2.197225 |
10 | 1 | 3,321928 | 2,302585 |
20 | 1.301030 | 4,321928 | 2,995732 |
30 | 1,477121 | 4.906891 | 3,401197 |
40 | 1.602060 | 5,321928 | 3,688879 |
50 | 1,698970 | 5,643856 | 3,912023 |
60 | 1,778151 | 5,906991 | 4,094345 |
70 | 1,845098 | 6,129283 | 4,248495 |
80 | 1.903090 | 6,321928 | 4.382027 |
90 | 1,954243 | 6,491853 | 4,499810 |
100 | 2 | 6,643856 | 4,605170 |
200 | 2.301030 | 7,643856 | 5,298317 |
300 | 2,477121 | 8,228819 | 5,703782 |
400 | 2.602060 | 8,643856 | 5,991465 |
500 | 2,698970 | 8,965784 | 6.214608 |
600 | 2,778151 | 9,228819 | 6,396930 |
700 | 2,845098 | 9,451211 | 6,551080 |
800 | 2.903090 | 9,643856 | 6,684612 |
900 | 2,954243 | 9,813781 | 6,802395 |
1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
10 000 | 4 | 13.287712 | 9.210340 |
Advertising