Naturaallogaritm – ln(x)

Naturaalne logaritm on logaritm arvu aluse e suhtes.

• Naturaallogaritmi (ln) definitsioon
• Naturaallogaritmi (ln) reeglid ja omadused
  • Naturaallogaritmi tuletis (ln)
  • Naturaallogaritmi integraal (ln)
• Kompleksne logaritm
• ln(x) graafik
• Naturaallogaritmide (ln) tabel
• Naturaallogaritmi kalkulaator

Naturaallogaritmi definitsioon

Millal

e ^y = x

Siis on x-i baas e logaritm

ln(x) = log_e(x) = y

 

E - konstant ehk Euleri arv on:

e ≈ 2,71828183

Ln eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina

Naturaallogaritmfunktsioon ln(x) on eksponentsiaalfunktsiooni e ^x pöördfunktsioon .

x>0 korral

f (f ^-1(x)) = e^ln(x) = x

Või

f ^-1(f (x)) = ln(e^x) = x

Naturaallogaritmi reeglid ja omadused

Reegli nimi	Reegel	Näide
Toote reegel	ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y)	ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Jagatisreegel	ln(x / y) = ln(x) - ln(y)	ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7)
Võimsuse reegel	ln(x y) = y ∙ ln(x)	ln(28) = 8∙ ln(2)
tuletis	f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x
Integraalis	∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C
Negatiivse arvuga	ln( x ) on määratlemata, kui x ≤ 0
ln nullist	ln(0) on määramata
Ühest	ln(1) = 0
Lõpmatuses	lim ln( x ) = ∞ , kui x →∞
Euleri identiteet	ln(-1) = iπ

 

Logaritmi korrutisreegel

X ja y korrutamise logaritm on x ja y logaritmi summa.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

Näiteks:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logaritmi jagatise reegel

X ja y jagamise logaritm on x ja y logaritmi erinevus.

log_b(x / y) = log_b(x) - log_b(y)

Näiteks:

log₁₀(3 / 7) = log₁₀(3) - log₁₀(7)

Logaritmi võimsusreegel

y astmeni tõstetud x-i logaritm on y korda x-i logaritm.

log_b(x ^y) = y ∙ log_b(x)

Näiteks:

log₁₀(2⁸) = 8∙ log₁₀(2)

Naturaallogaritmi tuletis

Naturaallogaritmfunktsiooni tuletis on pöördfunktsioon.

Millal

f (x) = ln(x)

F(x) tuletis on:

f ' (x) = 1 / x

Naturaallogaritmi integraal

Naturaallogaritmfunktsiooni integraal saadakse järgmiselt:

Millal

f (x) = ln(x)

F(x) integraal on:

∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C

Ln 0-st

Nulli naturaalne logaritm on määratlemata:

ln(0) is undefined

X naturaallogaritmi nullilähedane piir, kui x läheneb nullile, on miinus lõpmatus:

Ln 1-st

Ühe naturaallogaritm on null:

ln(1) = 0

Ln lõpmatusest

Lõpmatuse loomuliku logaritmi piir, kui x läheneb lõpmatusele, on võrdne lõpmatusega:

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Kompleksne logaritm

Kompleksarvu z puhul:

z = re^iθ = x + iy

Komplekslogaritm on (n = ...-2,-1,0,1,2,...):

Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x²+y²)) + i·arctan(y/x))

ln(x) graafik

ln(x) ei ole defineeritud x tegelike mittepositiivsete väärtuste jaoks:

Naturaallogaritmide tabel

x	ln x
0	määratlemata
0 +	- ∞
0,0001	-9.210340
0,001	-6,907755
0,01	-4,605170
0.1	-2,302585
1	0
2	0,693147
e ≈ 2,7183	1
3	1,098612
4	1,386294
5	1,609438
6	1,791759
7	1,945910
8	2,079442
9	2.197225
10	2,302585
20	2,995732
30	3,401197
40	3,688879
50	3,912023
60	4,094345
70	4,248495
80	4.382027
90	4,499810
100	4,605170
200	5,298317
300	5,703782
400	5,991465
500	6.214608
600	6,396930
700	6,551080
800	6,684612
900	6,802395
1000	6,907755
10 000	9.210340

 

Logaritmi reeglid ►

 

---

Vaata ka

• Logaritm (logaritm)
• Naturaallogaritmi kalkulaator
• Nulli naturaalne logaritm
• Ühe naturaalne logaritm
• E naturaallogaritm
• Lõpmatuse loomulik logaritm
• Negatiivse arvu naturaallogaritm
• Ln pöördfunktsioon
• ln(x) graafik
• Naturaallogaritmi tabel
• Logaritmi kalkulaator
• e konstantne