Logaritmus základu b čísla je exponent , který potřebujeme ke zvýšení základu , abychom číslo dostali.
Když je b umocněno na y, rovná se x:
b y = x
Potom se základní b logaritmus x rovná y:
logb(x) = y
Například když:
24 = 16
Pak
log2(16) = 4
logaritmická funkce,
y = logb(x)
je inverzní funkce exponenciální funkce,
x = by
Pokud tedy vypočítáme exponenciální funkci logaritmu x (x>0),
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
Nebo když vypočítáme logaritmus exponenciální funkce x,
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Přirozený logaritmus je logaritmus se základem e:
ln(x) = loge(x)
Když e konstanta je číslo:
nebo
Viz: Přirozený logaritmus
Inverzní logaritmus (nebo antilogaritmus) se vypočítá zvýšením základu b na logaritmus y:
x = log-1(y) = b y
Logaritmická funkce má základní tvar:
f (x) = logb(x)
Název pravidla | Pravidlo |
---|---|
Logaritmické pravidlo součinu |
log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y ) |
Logaritmické kvocientové pravidlo |
log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y ) |
Logaritmické mocninné pravidlo |
log b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Logaritmické pravidlo základního přepínače |
log b ( c ) = 1 / log c ( b ) |
Pravidlo změny základu logaritmu |
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b ) |
Derivace logaritmu |
f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ) ) |
Integrál logaritmu |
∫ log b ( x ) dx = x ∙ ( log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C |
Logaritmus záporného čísla |
log b ( x ) není definováno, když x ≤ 0 |
Logaritmus 0 |
log b (0) není definováno |
Logaritmus 1 |
log b (1) = 0 |
Logaritmus základny |
log b ( b ) = 1 |
Logaritmus nekonečna |
lim log b ( x ) = ∞, když x →∞ |
Viz: Pravidla logaritmu
Logaritmus násobení x a y je součtem logaritmu x a logaritmu y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Například:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Logaritmus dělení x a y je rozdílem logaritmu x a logaritmu y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Například:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Logaritmus x umocněný na y je y krát logaritmus x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Například:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Logaritmus základu b z c je 1 dělený logaritmem základu c z b.
logb(c) = 1 / logc(b)
Například:
log2(8) = 1 / log8(2)
Základ b logaritmu x je základ c logaritmus x dělený základem c logaritmus b.
logb(x) = logc(x) / logc(b)
Například, abychom mohli vypočítat log 2 (8) v kalkulačce, musíme změnit základ na 10:
log2(8) = log10(8) / log10(2)
Viz: pravidlo o změně základu protokolu
Reálný logaritmus základu b x, když x<=0 není definován, když x je záporné nebo rovné nule:
logb(x) is undefined when x ≤ 0
Viz: log záporného čísla
Logaritmus základu b nuly není definován:
logb(0) is undefined
Limita základního b logaritmu x, když se x blíží nule, je mínus nekonečno:
Viz: log nuly
Logaritmus základny b jedničky je nula:
logb(1) = 0
Například základní dva logaritmy jedničky je nula:
log2(1) = 0
Viz: protokol jednoho
Limita základního b logaritmu x, když se x blíží nekonečnu, se rovná nekonečnu:
lim logb(x) = ∞, when x→∞
Viz: log nekonečna
Logaritmus b základu b je jedna:
logb(b) = 1
Například základní dva logaritmy dvou je jedna:
log2(2) = 1
Když
f (x) = logb(x)
Pak derivace f(x):
f ' (x) = 1 / ( x ln(b) )
Integrál logaritmu x:
∫ logb(x) dx = x ∙ ( logb(x) - 1 / ln(b) ) + C
Například:
∫ log2(x) dx = x ∙ ( log2(x) - 1 / ln(2) ) + C
log2(x) ≈ n + (x/2n - 1) ,
Pro komplexní číslo z:
z = reiθ = x + iy
Komplexní logaritmus bude (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Najděte x pro
log2(x) + log2(x-3) = 2
Použití pravidla produktu:
log2(x∙(x-3)) = 2
Změna tvaru logaritmu podle definice logaritmu:
x∙(x-3) = 22
Nebo
x2-3x-4 = 0
Řešení kvadratické rovnice:
x1,2 = [3±√(9+16) ] / 2 = [3±5] / 2 = 4,-1
Protože logaritmus není definován pro záporná čísla, odpověď je:
x = 4
Najděte x pro
log3(x+2) - log3(x) = 2
Pomocí pravidla podílu:
log3((x+2) / x) = 2
Změna tvaru logaritmu podle definice logaritmu:
(x+2)/x = 32
Nebo
x+2 = 9x
Nebo
8x = 2
Nebo
x = 0.25
log(x) není definován pro skutečné nekladné hodnoty x:
X | log 10x _ | log 2x _ | log e x |
---|---|---|---|
0 | nedefinováno | nedefinováno | nedefinováno |
0 + | - ∞ | - ∞ | - ∞ |
0,0001 | -4 | -13,287712 | -9,210340 |
0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
0,1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
3 | 0,477121 | 1,584963 | 1,098612 |
4 | 0,602060 | 2 | 1,386294 |
5 | 0,698970 | 2,321928 | 1,609438 |
6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
7 | 0,845098 | 2,807355 | 1,945910 |
8 | 0,903090 | 3 | 2,079442 |
9 | 0,954243 | 3,169925 | 2,197225 |
10 | 1 | 3,321928 | 2,302585 |
20 | 1,301030 | 4,321928 | 2,995732 |
30 | 1,477121 | 4,906891 | 3,401197 |
40 | 1,602060 | 5,321928 | 3,688879 |
50 | 1,698970 | 5,643856 | 3,912023 |
60 | 1,778151 | 5,906991 | 4,094345 |
70 | 1,845098 | 6,129283 | 4,248495 |
80 | 1,903090 | 6,321928 | 4,382027 |
90 | 1,954243 | 6,491853 | 4,499810 |
100 | 2 | 6,643856 | 4,605170 |
200 | 2,301030 | 7,643856 | 5,298317 |
300 | 2,477121 | 8,228819 | 5,703782 |
400 | 2,602060 | 8,643856 | 5,991465 |
500 | 2,698970 | 8,965784 | 6,214608 |
600 | 2,778151 | 9,228819 | 6,396930 |
700 | 2,845098 | 9,451211 | 6,551080 |
800 | 2,903090 | 9,643856 | 6,684612 |
900 | 2,954243 | 9,813781 | 6,802395 |
1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
10 000 | 4 | 13,287712 | 9,210340 |
Advertising