Kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice je polynom druhého řádu se 3 koeficienty - a , b , c .
Kvadratická rovnice je dána vztahem:
ax2 + bx + c = 0
Řešení kvadratické rovnice je dáno 2 čísly x 1 a x 2 .
Můžeme změnit kvadratickou rovnici do tvaru:
(x - x1)(x - x2) = 0
Kvadratický vzorec
Řešení kvadratické rovnice je dáno kvadratickým vzorcem:
Výraz uvnitř odmocniny se nazývá diskriminant a značí se Δ:
Δ = b2 - 4ac
Kvadratický vzorec s diskriminačním zápisem:
Tento výraz je důležitý, protože nám může říci o řešení:
- Když Δ>0, existují 2 reálné kořeny x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) a x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Když Δ=0, existuje jeden kořen x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- Když Δ<0, neexistují žádné skutečné kořeny, existují 2 komplexní kořeny:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) a x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problém #1
3x2+5x+2 = 0
řešení:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problém #2
3x2-6x+3 = 0
řešení:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problém #3
x2+2x+5 = 0
řešení:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
Neexistují žádná skutečná řešení. Hodnoty jsou komplexní čísla:
x 1 = -1 + 2 i
x2 = -1-2 i
Graf kvadratických funkcí
Kvadratická funkce je polynomiální funkce druhého řádu:
f(x) = ax2 + bx + c
Řešení kvadratické rovnice jsou kořeny kvadratické funkce, které jsou průsečíky grafu kvadratické funkce s osou x, když
f(x) = 0
Když existují 2 průsečíky grafu s osou x, existují 2 řešení kvadratické rovnice.
Pokud existuje 1 průsečík grafu s osou x, existuje 1 řešení kvadratické rovnice.
Pokud neexistují žádné průsečíky grafu s osou x, dostaneme nereálná řešení (nebo 2 komplexní řešení).
Viz také
Advertising