Αλλαγή λογαριθμικού κανόνα βάσης

Για να αλλάξουμε τη βάση από b σε c, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα αλλαγής λογαρίθμου βάσης. Ο λογάριθμος βάσης b του x είναι ίσος με τον λογάριθμο βάσης c του x διαιρούμενος με τον λογάριθμο βάσης c του b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Παράδειγμα #1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

Παράδειγμα #2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

Απόδειξη

Ανυψώνοντας το b με τη δύναμη της βάσης b ο λογάριθμος του x δίνει το x:

(1) x = b^logb^(x)

Ανυψώνοντας το c με τη δύναμη της βάσης c λογάριθμος του b προκύπτει το b:

(2) b = c^logc^(b)

Όταν πάρουμε το (1) και αντικαταστήσουμε το b με c ^logc^{( b )} (2), παίρνουμε:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

Εφαρμόζοντας το log _c () και στις δύο πλευρές του (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

Εφαρμόζοντας τον κανόνα λογαριθμικής ισχύος :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

Αφού το log _c ( c )=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

Ή

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Λογάριθμος του μηδενός ►

Αλλαγή λογαριθμικού κανόνα βάσης