Φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος στη βάση e ενός αριθμού.
Οταν
e y = x
Τότε ο λογάριθμος βάσης e του x είναι
ln(x) = loge(x) = y
Η σταθερά e ή ο αριθμός του Euler είναι:
e ≈ 2,71828183
Η φυσική λογαριθμική συνάρτηση ln(x) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης e x .
Για x>0,
f (f -1(x)) = eln(x) = x
Ή
f -1(f (x)) = ln(ex) = x
Όνομα κανόνα | Κανόνας | Παράδειγμα |
---|---|---|
Κανόνας προϊόντος |
ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) |
ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7) |
Κανόνας πηλίκου |
ln(x / y) = ln(x) - ln(y) |
ln(3 / 7) = ln(3) - ln(7) |
Κανόνας εξουσίας |
ln(x y) = y ∙ ln(x) |
ln(28) = 8∙ ln(2) |
Σε παράγωγο |
f ( x ) = ln( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x | |
Σε αναπόσπαστο |
∫ ln( x ) dx = x ∙ (ln( x ) - 1) + C | |
ln αρνητικού αριθμού |
Το ln( x ) είναι απροσδιόριστο όταν x ≤ 0 | |
Στο μηδέν |
Το ln(0) είναι απροσδιόριστο | |
Σε ένα |
ln(1) = 0 | |
Στο άπειρο |
lim ln( x ) = ∞ , όταν x →∞ | |
Η ταυτότητα του Euler | ln(-1) = iπ |
Ο λογάριθμος του πολλαπλασιασμού των x και y είναι το άθροισμα του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.
logb(x ∙ y) = logb(x) + logb(y)
Για παράδειγμα:
log10(3 ∙ 7) = log10(3) + log10(7)
Ο λογάριθμος της διαίρεσης του x και του y είναι η διαφορά του λογάριθμου του x και του λογάριθμου του y.
logb(x / y) = logb(x) - logb(y)
Για παράδειγμα:
log10(3 / 7) = log10(3) - log10(7)
Ο λογάριθμος του x ανυψώνεται στη δύναμη του y είναι y επί του λογάριθμου του x.
logb(x y) = y ∙ logb(x)
Για παράδειγμα:
log10(28) = 8∙ log10(2)
Η παράγωγος της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου είναι η αντίστροφη συνάρτηση.
Οταν
f (x) = ln(x)
Η παράγωγος της f(x) είναι:
f ' (x) = 1 / x
Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης φυσικού λογάριθμου δίνεται από:
Οταν
f (x) = ln(x)
Το ολοκλήρωμα της f(x) είναι:
∫ f (x)dx = ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) - 1) + C
Ο φυσικός λογάριθμος του μηδενός είναι απροσδιόριστος:
ln(0) is undefined
Το όριο κοντά στο 0 του φυσικού λογάριθμου του x, όταν το x πλησιάζει το μηδέν, είναι μείον το άπειρο:
Ο φυσικός λογάριθμος του ενός είναι μηδέν:
ln(1) = 0
Το όριο του φυσικού λογάριθμου του άπειρου, όταν το x πλησιάζει το άπειρο είναι ίσο με το άπειρο:
lim ln(x) = ∞, when x→∞
Για τον μιγαδικό αριθμό z:
z = reiθ = x + iy
Ο μιγαδικός λογάριθμος θα είναι (n = ...-2,-1,0,1,2,...):
Log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x))
Το ln(x) δεν ορίζεται για πραγματικές μη θετικές τιμές του x:
Χ | Στο x |
---|---|
0 | απροσδιόριστος |
0 + | - ∞ |
0,0001 | -9,210340 |
0,001 | -6,907755 |
0,01 | -4,605170 |
0.1 | -2,302585 |
1 | 0 |
2 | 0,693147 |
e ≈ 2,7183 | 1 |
3 | 1,098612 |
4 | 1,386294 |
5 | 1,609438 |
6 | 1,791759 |
7 | 1,945910 |
8 | 2,079442 |
9 | 2,197225 |
10 | 2,302585 |
20 | 2,995732 |
30 | 3,401197 |
40 | 3,688879 |
50 | 3,912023 |
60 | 4,094345 |
70 | 4,248495 |
80 | 4,382027 |
90 | 4,499810 |
100 | 4,605170 |
200 | 5,298317 |
300 | 5,703782 |
400 | 5,991465 |
500 | 6,214608 |
600 | 6,396930 |
700 | 6,551080 |
800 | 6,684612 |
900 | 6,802395 |
1000 | 6,907755 |
10000 | 9,210340 |
Advertising