Équation quadratique
L'équation quadratique est un polynôme du second ordre à 3 coefficients - a , b , c .
L'équation quadratique est donnée par :
ax2 + bx + c = 0
La solution de l'équation quadratique est donnée par 2 nombres x 1 et x 2 .
Nous pouvons changer l'équation quadratique sous la forme suivante :
(x - x1)(x - x2) = 0
Formule quadratique
La solution de l'équation quadratique est donnée par la formule quadratique :
L'expression à l'intérieur de la racine carrée est appelée discriminante et est notée Δ :
Δ = b2 - 4ac
La formule quadratique avec notation discriminante :
Cette expression est importante car elle peut nous renseigner sur la solution :
- Lorsque Δ>0, il existe 2 racines réelles x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) et x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Lorsque Δ=0, il y a une racine x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- Lorsque Δ<0, il n'y a pas de racines réelles, il y a 2 racines complexes :
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) et x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problème #1
3x2+5x+2 = 0
Solution:
un = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problème #2
3x2-6x+3 = 0
Solution:
un = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problème #3
x2+2x+5 = 0
Solution:
une = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16 )) / 2
Il n'y a pas de vraies solutions. Les valeurs sont des nombres complexes :
x 1 = -1 + 2 je
x 2 = -1 - 2 je
Graphique de fonction quadratique
La fonction quadratique est une fonction polynomiale du second ordre :
f(x) = ax2 + bx + c
Les solutions de l'équation quadratique sont les racines de la fonction quadratique, c'est-à-dire les points d'intersection du graphique de la fonction quadratique avec l'axe des x, lorsque
f(x) = 0
Lorsqu'il y a 2 points d'intersection du graphique avec l'axe des abscisses, il y a 2 solutions à l'équation quadratique.
Lorsqu'il y a 1 point d'intersection du graphique avec l'axe des x, il y a 1 solution à l'équation quadratique.
Lorsqu'il n'y a pas de points d'intersection du graphe avec l'axe des abscisses, on n'obtient pas de solutions réelles (ou 2 solutions complexes).
Voir également
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