Canvi de logaritme de la regla base

Per canviar la base de b a c, podem utilitzar la regla de canvi de logaritme de base. El logaritme de base b de x és igual al logaritme de base c de x dividit pel logaritme de base c de b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Exemple #1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

Exemple #2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

Prova

Aixecant b amb la potència del logaritme de base b de x dóna x:

(1) x = b^logb^(x)

Aixecant c amb la potència del logaritme de base c de b dóna b:

(2) b = c^logc^(b)

Quan agafem (1) i substituïm b per c ^logc^{( b )} (2), obtenim:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

Aplicant el log _c () als dos costats de (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

Aplicant la regla de potència del logaritme :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

Com que log _c ( c )=1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

Logaritme de zero ►

Canvi de logaritme de la regla base