Andragradsekvation
Andragradsekvationen är ett andra ordningens polynom med 3 koefficienter - a , b , c .
Andragradsekvationen ges av:
ax2 + bx + c = 0
Lösningen till andragradsekvationen ges av 2 tal x 1 och x 2 .
Vi kan ändra andragradsekvationen till formen av:
(x - x1)(x - x2) = 0
Kvadratiska formel
Lösningen till andragradsekvationen ges av andragradsformeln:
Uttrycket inuti kvadratroten kallas diskriminant och betecknas med Δ:
Δ = b2 - 4ac
Den kvadratiska formeln med diskriminant notation:
Detta uttryck är viktigt eftersom det kan berätta om lösningen:
- När Δ>0 finns det 2 reella rötter x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) och x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- När Δ=0 finns det en rot x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- När Δ<0 finns det inga reella rötter, det finns 2 komplexa rötter:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) och x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problem #1
3x2+5x+2 = 0
lösning:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problem #2
3x2-6x+3 = 0
lösning:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problem #3
x2+2x+5 = 0
lösning:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
Det finns inga riktiga lösningar.Värdena är komplexa tal:
x 1 = -1 + 2 i
x 2 = -1 - 2 i
Kvadratisk funktionsgraf
Den kvadratiska funktionen är en andra ordningens polynomfunktion:
f(x) = ax2 + bx + c
Lösningarna till andragradsekvationen är rötterna till andragradsfunktionen, det vill säga skärningspunkterna för kvadratfunktionsgrafen med x-axeln, när
f(x) = 0
När det finns 2 skärningspunkter för grafen med x-axeln, finns det 2 lösningar till andragradsekvationen.
När det finns 1 skärningspunkt för grafen med x-axeln, finns det 1 lösning på andragradsekvationen.
När det inte finns några skärningspunkter för grafen med x-axeln får vi inga verkliga lösningar (eller 2 komplexa lösningar).
Se även
Advertising