Kvadratisk ligning
Kvadratisk ligning er et andreordens polynom med 3 koeffisienter - a , b , c .
Den kvadratiske ligningen er gitt av:
ax2 + bx + c = 0
Løsningen til den andregradsligningen er gitt ved 2 tall x 1 og x 2 .
Vi kan endre den kvadratiske ligningen til formen av:
(x - x1)(x - x2) = 0
Kvadratisk formel
Løsningen til den andregradsligningen er gitt av den andregradsformelen:
Uttrykket inne i kvadratroten kalles diskriminant og er betegnet med Δ:
Δ = b2 - 4ac
Den kvadratiske formelen med diskriminerende notasjon:
Dette uttrykket er viktig fordi det kan fortelle oss om løsningen:
- Når Δ>0, er det 2 reelle røtter x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) og x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Når Δ=0, er det én rot x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- Når Δ<0, er det ingen reelle røtter, det er 2 komplekse røtter:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) og x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problem #1
3x2+5x+2 = 0
løsning:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problem #2
3x2-6x+3 = 0
løsning:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problem #3
x2+2x+5 = 0
løsning:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
Det finnes ingen reelle løsninger.Verdiene er komplekse tall:
x 1 = -1 + 2 i
x 2 = -1 - 2 i
Kvadratisk funksjonsgraf
Den kvadratiske funksjonen er en andreordens polynomfunksjon:
f(x) = ax2 + bx + c
Løsningene til den kvadratiske ligningen er røttene til den andregradsfunksjonen, som er skjæringspunktene til den kvadratiske funksjonsgrafen med x-aksen, når
f(x) = 0
Når det er 2 skjæringspunkter av grafen med x-aksen, er det 2 løsninger til kvadratisk ligning.
Når det er 1 skjæringspunkt for grafen med x-aksen, er det 1 løsning på andregradsligningen.
Når det ikke er noen skjæringspunkter for grafen med x-aksen, får vi ikke reelle løsninger (eller 2 komplekse løsninger).
Se også
Advertising