Kwadratische vergelijking
Kwadratische vergelijking is een polynoom van de tweede orde met 3 coëfficiënten - a , b , c .
De kwadratische vergelijking wordt gegeven door:
ax2 + bx + c = 0
De oplossing van de kwadratische vergelijking wordt gegeven door 2 getallen x 1 en x 2 .
We kunnen de kwadratische vergelijking veranderen in de vorm van:
(x - x1)(x - x2) = 0
Kwadratische formule
De oplossing van de kwadratische vergelijking wordt gegeven door de kwadratische formule:
De uitdrukking binnen de vierkantswortel wordt discriminant genoemd en wordt aangeduid met Δ:
Δ = b2 - 4ac
De kwadratische formule met discriminantnotatie:
Deze uitdrukking is belangrijk omdat het ons iets kan vertellen over de oplossing:
- Als Δ>0, zijn er 2 reële wortels x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) en x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Als Δ=0, is er één wortel x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- Als Δ<0, zijn er geen echte wortels, er zijn 2 complexe wortels:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) en x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Probleem #1
3x2+5x+2 = 0
oplossing:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Probleem #2
3x2-6x+3 = 0
oplossing:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Probleem #3
x2+2x+5 = 0
oplossing:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16 )) / 2
Echte oplossingen zijn er niet.De waarden zijn complexe getallen:
x 1 = -1 + 2 i
x 2 = -1 - 2 i
Kwadratische functiegrafiek
De kwadratische functie is een polynoomfunctie van de tweede orde:
f(x) = ax2 + bx + c
De oplossingen van de kwadratische vergelijking zijn de wortels van de kwadratische functie, dat zijn de snijpunten van de kwadratische functiegrafiek met de x-as, wanneer
f(x) = 0
Als er 2 snijpunten zijn van de grafiek met de x-as, zijn er 2 oplossingen voor de kwadratische vergelijking.
Als er 1 snijpunt van de grafiek met de x-as is, is er 1 oplossing voor de kwadratische vergelijking.
Als er geen snijpunten zijn van de grafiek met de x-as, krijgen we geen echte oplossingen (of 2 complexe oplossingen).
Zie ook
Advertising