分散

確率と統計では、確率変数の分散は、平均値からの二乗距離の平均値です。これは、確率変数が平均値の近くでどのように分布しているかを表します。小さな分散は、確率変数が平均値の近くに分布していることを示します。大きな分散は、確率変数が平均値から離れて分布していることを示します。たとえば、正規分布では、狭いベルカーブは分散が小さく、広いベルカーブは分散が大きくなります。

差異の定義

確率変数 X の分散は、X と期待値 μ の差の 2 乗の期待値です。

σ² = Var ( X ) = E [(X- μ)²]

分散の定義から得ることができます

σ² = Var ( X ) = E(X²) - μ²

連続確率変数の分散

平均値 μ と確率密度関数 f(x) を持つ連続確率変数の場合:

$\sigma ^2=Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\: f(x)dx$

また

$Var(X)=\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x^2\: f(x)dx \right ]-\mu^2$

離散確率変数の分散

平均値 μ と確率質量関数 P(x) を持つ離散確率変数 X の場合:

$\sigma ^2=Var(X)=\sum_{i}^{}(x_i-\mu_X)^2P_X(x_i)$

また

$Var(X)=\left [ \sum_{i}^{}x_i^2P(x_i) \right ]-\mu^2$

分散の特性

X と Y が独立確率変数の場合:

Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y )

標準偏差 ►

分散

差異の定義

連続確率変数の分散

離散確率変数の分散

分散の特性

Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y )

こちらもご覧ください

確率と統計

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