Kvadratna jednadžba
Kvadratna jednadžba je polinom drugog reda s 3 koeficijenta - a , b , c .
Kvadratna jednadžba dana je sa:
ax2 + bx + c = 0
Rješenje kvadratne jednadžbe dano je s 2 broja x 1 i x 2 .
Kvadratnu jednadžbu možemo promijeniti u oblik:
(x - x1)(x - x2) = 0
Kvadratna formula
Rješenje kvadratne jednadžbe dano je kvadratnom formulom:
Izraz unutar kvadratnog korijena naziva se diskriminanta i označava se s Δ:
Δ = b2 - 4ac
Kvadratna formula s diskriminantnim zapisom:
Ovaj izraz je važan jer nam može reći o rješenju:
- Kada je Δ>0, postoje 2 realna korijena x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) i x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Kada je Δ=0, postoji jedan korijen x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- Kada je Δ<0, nema pravih korijena, postoje 2 kompleksna korijena:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) i x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problem #1
3x2+5x+2 = 0
riješenje:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problem #2
3x2-6x+3 = 0
riješenje:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problem #3
x2+2x+5 = 0
riješenje:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
Pravih rješenja nema. Vrijednosti su kompleksni brojevi:
x 1 = -1 + 2 i
x 2 = -1 - 2 i
Grafikon kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija je polinomska funkcija drugog reda:
f(x) = ax2 + bx + c
Rješenja kvadratne jednadžbe su korijeni kvadratne funkcije, koji su sjecišne točke grafa kvadratne funkcije s x-osom, kada
f(x) = 0
Kada postoje 2 točke presjeka grafa s osi x, postoje 2 rješenja kvadratne jednadžbe.
Kada postoji 1 sjecišna točka grafa s osi x, postoji 1 rješenje kvadratne jednadžbe.
Kada nema sjecišta grafa s x-osi, dobivamo nestvarna rješenja (ili 2 kompleksna rješenja).
Vidi također
Advertising