द्विघात समीकरण
द्विघात समीकरण 3 गुणांकों - a , b , c के साथ एक दूसरा क्रम बहुपद है ।
द्विघात समीकरण द्वारा दिया गया है:
ax2 + bx + c = 0
द्विघात समीकरण का हल 2 संख्याओं x 1 और x 2 द्वारा दिया गया है ।
हम द्विघात समीकरण को निम्न रूप में बदल सकते हैं:
(x - x1)(x - x2) = 0
द्विघात सूत्र
द्विघात समीकरण का हल द्विघात सूत्र द्वारा दिया गया है:
वर्गमूल के अंदर की अभिव्यक्ति को विवेचक कहा जाता है और इसे Δ द्वारा निरूपित किया जाता है:
Δ = b2 - 4ac
विवेचक संकेतन के साथ द्विघात सूत्र:
यह अभिव्यक्ति महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें समाधान के बारे में बता सकती है:
- जब Δ>0, 2 वास्तविक मूल होते हैं x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) और x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) ।
- जब Δ=0, एक मूल x 1 =x 2 =-b/(2a) होता है।
- जब Δ<0, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो 2 जटिल जड़ें हैं:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) और x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) ।
समस्या # 1
3x2+5x+2 = 0
समाधान:
ए = 3, बी = 5, सी = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
एक्स 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
समस्या #2
3x2-6x+3 = 0
समाधान:
ए = 3, बी = -6, सी = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
एक्स 1 = एक्स 2 = 1
समस्या #3
x2+2x+5 = 0
समाधान:
ए = 1, बी = 2, सी = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
कोई वास्तविक समाधान नहीं हैं। मान सम्मिश्र संख्याएँ हैं:
एक्स 1 = -1 + 2 मैं
एक्स 2 = -1 - 2 मैं
द्विघात समारोह ग्राफ
द्विघात फलन एक दूसरे क्रम का बहुपद फलन है:
f(x) = ax2 + bx + c
द्विघात समीकरण के समाधान द्विघात फलन के मूल हैं, जो कि x-अक्ष के साथ द्विघात फलन ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, जब
f(x) = 0
जब एक्स-अक्ष के साथ ग्राफ के 2 चौराहे बिंदु होते हैं, तो द्विघात समीकरण के 2 समाधान होते हैं।
जब एक्स-अक्ष के साथ ग्राफ का 1 प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, तो द्विघात समीकरण का 1 समाधान होता है।
जब एक्स-अक्ष के साथ ग्राफ का कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होता है, तो हमें वास्तविक समाधान (या 2 जटिल समाधान) नहीं मिलते हैं।
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