e קבוע

קבוע e או מספר אוילר הוא קבוע מתמטי. הקבוע e הוא מספר ממשי ואי רציונלי.

e = 2.718281828459...

הגדרה של ה
מאפיינים של ה
בסיס e לוגריתם
פונקציה מעריכית
הנוסחה של אוילר

הגדרה של ה

הקבוע e מוגדר כגבול:

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x = 2.718281828459...$

הגדרות חלופיות

הקבוע e מוגדר כגבול:

$e=\lim_{x\rightarrow 0 }\left ( 1+ \right x)^\frac{1}{x}$

קבוע e מוגדר כסדרה האינסופית:

$e=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{ 2!}+\frac{1}{3!}+...$

מאפיינים של ה

הדדיות של ה

ההדדיות של e היא הגבול:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=\frac{1}{e}$

נגזרות של ה

הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית היא הפונקציה המעריכית:

(e^x)' = e^x

הנגזרת של פונקציית הלוגריתם הטבעית היא הפונקציה ההדדית:

(log_ex)' = (ln x)' = 1/x

אינטגרלים של ה

האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה המעריכית e ^x הוא הפונקציה האקספוננציאלית e ^x .

∫ e^xdx = e^x+c

האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציית הלוגריתם הטבעית log _e x הוא:

∫ log_ex dx = ∫ lnx dx = x ln x - x +c

האינטגרל המובהק מ-1 עד e של הפונקציה ההדדית 1/x הוא 1:

$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\: dx=1$

בסיס e לוגריתם

הלוגריתם הטבעי של מספר x מוגדר כלוגריתם הבסיס e של x:

ln x = log_ex

פונקציה מעריכית

הפונקציה המעריכית מוגדרת כך:

f (x) = exp(x) = e^x

הנוסחה של אוילר

למספר המרוכב e ^iθ יש את הזהות:

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

i היא היחידה הדמיונית (השורש הריבועי של -1).

θ הוא כל מספר ממשי.