משוואה ריבועית
משוואה ריבועית היא פולינום מסדר שני עם 3 מקדמים - a , b , c .
המשוואה הריבועית ניתנת על ידי:
ax2 + bx + c = 0
הפתרון למשוואה הריבועית ניתן על ידי 2 מספרים x 1 ו x 2 .
אנו יכולים לשנות את המשוואה הריבועית לצורה של:
(x - x1)(x - x2) = 0
נוסחה ריבועית
הפתרון למשוואה הריבועית ניתן על ידי הנוסחה הריבועית:
הביטוי בתוך השורש הריבועי נקרא אבחנה ומסומן ב-Δ:
Δ = b2 - 4ac
הנוסחה הריבועית עם סימון מבחין:
ביטוי זה חשוב כי הוא יכול לספר לנו על הפתרון:
- כאשר Δ>0, ישנם 2 שורשים ממשיים x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) ו-x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- כאשר Δ=0, יש שורש אחד x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- כאשר Δ<0, אין שורשים ממשיים, יש 2 שורשים מורכבים:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) ו-x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
בעיה מס' 1
3x2+5x+2 = 0
פִּתָרוֹן:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
בעיה מס' 2
3x2-6x+3 = 0
פִּתָרוֹן:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
בעיה מס' 3
x2+2x+5 = 0
פִּתָרוֹן:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
אין פתרונות אמיתיים. הערכים הם מספרים מרוכבים:
x 1 = -1 + 2 i
x 2 = -1 - 2 i
גרף פונקציות ריבועיות
הפונקציה הריבועית היא פונקציה פולינומית מסדר שני:
f(x) = ax2 + bx + c
הפתרונות למשוואה הריבועית הם שורשי הפונקציה הריבועית, שהם נקודות החיתוך של גרף הפונקציה הריבועית עם ציר ה-x, כאשר
f(x) = 0
כאשר יש 2 נקודות חיתוך של הגרף עם ציר ה-x, יש 2 פתרונות למשוואה הריבועית.
כאשר יש נקודת חיתוך אחת של הגרף עם ציר ה-x, יש פתרון אחד למשוואה הריבועית.
כשאין נקודות חיתוך של הגרף עם ציר ה-x, אנחנו לא מקבלים פתרונות אמיתיים (או 2 פתרונות מורכבים).
ראה גם
Advertising