Variance

En probabilité et statistique, la variance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne de la distance carrée à la valeur moyenne. Il représente la façon dont la variable aléatoire est distribuée près de la valeur moyenne. Une petite variance indique que la variable aléatoire est distribuée près de la valeur moyenne. Une grande variance indique que la variable aléatoire est distribuée loin de la valeur moyenne. Par exemple, avec une distribution normale, la courbe en cloche étroite aura une petite variance et la courbe en cloche large aura une grande variance.

Définition de la variance

La variance de la variable aléatoire X est la valeur attendue des carrés de la différence de X et la valeur attendue μ.

σ2 = Var ( X ) = E [(X - μ)2]

A partir de la définition de la variance, on obtient

σ2 = Var ( X ) = E(X 2) - μ2

Variance de la variable aléatoire continue

Pour une variable aléatoire continue avec une valeur moyenne μ et une fonction de densité de probabilité f(x) :

\sigma ^2=Var(X)=\int_{-\infty }^{\infty}(x-\mu)^2\ : f(x)dx

ou alors

Var(X)=\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x^2\ : f(x)dx \right ]-\mu^2

Variance de la variable aléatoire discrète

Pour la variable aléatoire discrète X avec une valeur moyenne μ et une fonction de masse de probabilité P(x) :

\sigma ^2=Var(X)=\sum_{i}^{}(x_i-\mu _X)^2P_X(x_i)

ou alors

Var(X)=\left [ \sum_{i}^{}x_i^2P(x_i) \right ]-\mu^2

Propriétés de la variance

Lorsque X et Y sont des variables aléatoires indépendantes :

Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y )

 

Écart-type ►

 

Voir également

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PROBABILITÉ & STATISTIQUES
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