Varianz

In Wahrscheinlichkeit und Statistik ist die Varianz einer Zufallsvariablen der Mittelwert des quadratischen Abstands vom Mittelwert. Sie stellt dar, wie die Zufallsvariable in der Nähe des Mittelwerts verteilt ist. Eine kleine Varianz zeigt an, dass die Zufallsvariable in der Nähe des Mittelwerts verteilt ist. Eine große Varianz zeigt an, dass die Zufallsvariable weit vom Mittelwert entfernt verteilt ist. Bei einer Normalverteilung hat beispielsweise eine schmale Glockenkurve eine kleine Varianz und eine breite Glockenkurve eine große Varianz.

Abweichungsdefinition

Die Varianz der Zufallsvariablen X ist der Erwartungswert der Differenzquadrate von X und dem Erwartungswert μ.

σ2 = Var ( X ) = E [(X - μ)2]

Aus der Definition der Varianz können wir erhalten

σ2 = Var ( X ) = E(X 2) - μ2

Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Für stetige Zufallsvariable mit Mittelwert μ und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x):

\sigma^2=Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\: f(x)dx

oder

Var(X)=\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x^2\: f(x)dx \right ]-\mu^2

Varianz einer diskreten Zufallsvariablen

Für diskrete Zufallsvariable X mit Mittelwert μ und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion P(x):

\sigma^{2}=Var(X)=\sum_{i}^{}(x_{i}-\mu_X)^{2P_X(x_{i})

oder

Var(X)=\left[\sum_{i}^{}x_i^2P(x_i)\right]-\mu^2

Eigenschaften der Varianz

Wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind:

Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y )

 

Standardabweichung ►

 

Siehe auch

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WAHRSCHEINLICHKEIT & STATISTIK
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