Kvadratisk ligning
Kvadratisk ligning er et andenordens polynomium med 3 koefficienter - a , b , c .
Den andengradsligning er givet ved:
ax2 + bx + c = 0
Løsningen til andengradsligningen er givet ved 2 tal x 1 og x 2 .
Vi kan ændre andengradsligningen til formen af:
(x - x1)(x - x2) = 0
Kvadratisk formel
Løsningen til andengradsligningen er givet ved andengradsformlen:
Udtrykket inde i kvadratroden kaldes diskriminant og betegnes med Δ:
Δ = b2 - 4ac
Den kvadratiske formel med diskriminant notation:
Dette udtryk er vigtigt, fordi det kan fortælle os om løsningen:
- Når Δ>0, er der 2 reelle rødder x 1 =(-b+√ Δ )/(2a) og x 2 =(-b-√ Δ )/(2a) .
- Når Δ=0, er der én rod x 1 =x 2 =-b/(2a) .
- Når Δ<0, er der ingen reelle rødder, der er 2 komplekse rødder:
x 1 =(-b+i√ -Δ )/(2a) og x 2 =(-bi√ -Δ )/(2a) .
Problem #1
3x2+5x+2 = 0
løsning:
a = 3, b = 5, c = 2
x 1,2 = (-5 ± √(5 2 - 4×3×2)) / (2×3) = (-5 ± √(25-24)) / 6 = (-5 ± 1) / 6
x 1 = (-5 + 1)/6 = -4/6 = -2/3
x 2 = (-5 - 1)/6 = -6/6 = -1
Problem #2
3x2-6x+3 = 0
løsning:
a = 3, b = -6, c = 3
x 1,2 = (6 ± √( (-6) 2 - 4×3×3)) / (2×3) = (6 ± √(36-36)) / 6 = (6 ± 0) / 6
x 1 = x 2 = 1
Problem #3
x2+2x+5 = 0
løsning:
a = 1, b = 2, c = 5
x 1,2 = (-2 ± √(2 2 - 4×1×5)) / (2×1) = (-2 ± √(4-20)) / 2 = (-2 ± √(-16) )) / 2
Der er ingen rigtige løsninger. Værdierne er komplekse tal:
x 1 = -1 + 2 i
x 2 = -1 - 2 i
Kvadratisk funktionsgraf
Den kvadratiske funktion er en andenordens polynomisk funktion:
f(x) = ax2 + bx + c
Løsningerne til andengradsligningen er rødderne af den andengradsfunktion, det vil sige skæringspunkterne for den andengradsfunktionsgraf med x-aksen, når
f(x) = 0
Når der er 2 skæringspunkter i grafen med x-aksen, er der 2 løsninger til andengradsligningen.
Når der er 1 skæringspunkt for grafen med x-aksen, er der 1 løsning til andengradsligningen.
Når der ikke er nogen skæringspunkter i grafen med x-aksen, får vi ikke rigtige løsninger (eller 2 komplekse løsninger).
Se også
Advertising