تغيير لوغاريتم القاعدة الأساسية

لتغيير القاعدة من b إلى c ، يمكننا استخدام التغير اللوغاريتمي للقاعدة الأساسية. اللوغاريتم الأساسي b لـ x يساوي اللوغاريتم الأساسي c لـ x مقسومًا على اللوغاريتم الأساسي c لـ b:

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

مثال 1

log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) = 2 / 0.30103 = 6.64386

المثال رقم 2

log₃(50) = log₈(50) / log₈(3) = 1.8812853 / 0.5283208 = 3.5608766

دليل - إثبات

رفع b بقوة الأساس b لوغاريتم x يعطي x:

(1) x = b^logb^(x)

رفع c بقوة لوغاريتم القاعدة c يعطي b:

(2) b = c^logc^(b)

عندما نأخذ (1) ونستبدل b بـ c ^logc^{( b )} (2) ، نحصل على:

(3) x = b^logb^(x) = (c^logc^(b))^logb^(x) = c^logc^(b)×logb^(x)

بتطبيق السجل _ج () على جانبي (3):

log_c(x) = log_c(c^logc^(b)×logb^(x))

بتطبيق قاعدة قوة اللوغاريتم :

log_c(x) = [log_c(b)×log_b(x)] × log_c(c)

منذ تسجيل _ج ( ج ) = 1

log_c(x) = log_c(b)×log_b(x)

أو

log_b(x) = log_c(x) / log_c(b)

لوغاريتم صفر ►

تغيير لوغاريتم القاعدة الأساسية